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Juros Compostos

Nos juros compostos, a cada período é acrescido um valor de juros proporcional ao valor já acumulado, ou seja, a taxa de juros incide sobre o valor acumulado, que aumenta a cada período. Dessa forma, o valor dos juros acrescidos a cada período é sempre crescente.

Por exemplo, se você investiu 1.000 a uma taxa de rendimento de 60% ao ano, após 3 anos teria 4.096:

investimento inicial: taxa de juros: anos:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION

EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION

Nesse exemplo, no 1º ano acumularia 600 (60% de 1.000), no 2º ano acumularia mais 960 (60% de 1.600) e no 3º ano acumularia mais 1.536 (60% de 2.560), totalizando 3.096 de juros:

No cálculo acima, o "valor futuro" representa o quanto você teria ao final do período, e os "juros" representa quanto o dinheiro renderia. O mesmo cálculo pode ser utilizado no contexto de um empréstimo, onde o "investimento inicial" seria na verdade o "empréstimo inicial", enquanto o "valor futuro" representaria o valor devido após o período (em meses ou anos).

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Fórmulas dos Juros Compostos

Fórmula do Valor Futuro (ou Montante):
F = P.(1 + i)n

Fórmula dos Juros:
J = F - P

Onde:
F = valor futuro (muitas vezes chamado de M ou "montante")
P = valor presente (muitas vezes chamado de "principal")
n = número de períodos (em dias, meses, anos, ... dependendo do contexto)
i = taxa de juros (normalmente na forma percentual)
J = juros

Demonstração / Dedução:
F1 = P + P.i  (é o valor futuro após 1 mês)
Colocando o termo P em evidência:
F1 = P.(1 + i)
F2 = F1.(1 + i)  (é o valor futuro após 2 meses)
Trocando o F1 por sua fórmula em P:
F2 = P.(1 + i).(1 + i)
F3 = P.(1 + i).(1 + i).(1 + i)  (é o valor futuro após 3 meses)
Repetindo para n meses, pode ser escrita como:
F = P.(1 + i)n

Calculadora Online de Juros Compostos

Podemos utilizar variações da fórmula do valor futuro, para descobrir qualquer uma das 4 variáveis a partir dos valores das outras 3:

1. Valor Futuro (ou Montante): F = P.(1 + i)n

valor presente: taxa de juros: número de períodos:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION
2. Valor Presente (ou Principal): P = F/(1 + i)n

valor futuro: taxa de juros: número de períodos:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION
3. Taxa de Juros: i = (F/P)1/n - 1

valor presente: valor futuro: número de períodos:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION
4. Número de Períodos: n = log(F/P)/log(1+i)

valor presente: valor futuro: taxa de juros:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION

Observe que as variações acima são obtidas a partir de simples manipulações algébricas, de forma a "isolar" a variável de interesse. Como regra geral, qualquer problema de juros compostos pode ser resolvido analisando qual dessas variações será utilizada, vide exemplos a seguir.


Conversão de Taxa de Juros entre diferentes períodos

No regime de juros simples, uma taxa de juros de 1% a.m. (ao mês), corresponde a uma taxa de 12% a.a. (ao ano), entretanto, no regime de juros compostos, o cálculo é um pouco mais complexo:

Conversor de Taxa de Juros

taxa de juros: de: para:
EMPTY_VAL
Fórmula no Excel EMPTY_EXPRESSION

Experimente acima alterar a taxa de juros para 10% e observe que o resultado se afasta muito dos 120% esperados para o regime de juros simples. Veja mais na seção sobre taxa nominal, efetiva e equivalentes.

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Exemplos

1. Qual a taxa de juros mensal para que 1.000 se torne 1.200 em 6 meses?

Utilizando a variação 3 da calculadora online ( i = (F/P)1/n - 1 ), teremos:
valor presente: 1.000; valor futuro: 1.200; número de períodos: 6
Solução: i = (1200/1000)1/6 - 1 = 3,09%
Observe que 3,09% é o mesmo que 3,09/100 e isso vale para qualquer valor percentual.

2. Qual o montante de 1.000 a taxa de 10% a.t. por 2 meses e 10 dias?

Primeiro devemos converter o período em dias:
2 meses e 10 dias = 70 dias (assumindo 1 mes = 30 dias)
Utilizando o conversor de taxa de juros acima, verificamos que:
10% a.t. = 0,1059% a.d.
Agora utilizando a variação 1 da calculadora online ( F = P.(1 + i)n ), teremos:
valor presente: 1.000; taxa de juros: 0,1059%; número de períodos: 70
Solução: F = 1000*(1 + 0,1059%)70 = 1076,91

3. Qual os juros compostos produzidos por 5.300, aplicados à taxa de 24% a.a., durante 7 meses?

Utilizando o conversor de taxa de juros acima, verificamos que:
24% a.a. = 1,8087% a.m.
Agora utilizando a variação 1 da calculadora online ( F = P.(1 + i)n ), teremos:
valor presente: 5.300; taxa de juros: 1,8087%; número de períodos: 7
F = 5300*(1 + 1,8087%)7 = 6008,56
Finalmente utilizando a fórmula dos juros ( J = F - P ), teremos:
Solução: J = 6008,56 - 5300 = 708,56

Juros Compostos em Mensalidades

Na prática, quando lidamos com empréstimos, parcelamentos ou investimentos, caímos em problemas um pouco mais complexos. Nesses casos precisamos lidar com mensalidades ou anualidades, por exemplo:


Juros Compostos são Injustos?

Já houve muita polêmica sobre os juros compostos, considerando injusto o cálculo de juros sobre juros. Entretanto, os juros compostos são aplicados tanto para dívidas, quanto para investimentos, ou seja, os bancos utilizam a mesma matemática tanto na cobrança de dívidas, quanto na remuneração de investimentos (poupança, CDB, LCI, ...). Então como um Banco ganha dinheiro? A resposta é simples: a taxa de juros paga pelo Banco (quando você deposita ou investe) é sempre menor que a taxa de juros cobrada (quando você pega um empréstimo ou financiamento).

Portanto, os juros compostos são a forma matematicamente correta e justa de aplicar juros ao dinheiro, entretanto alguns bancos cobram juros muito altos ao emprestar dinheiro. Podemos protestar contra os juros abusivos, mas jamais contra a matemática dos juros compostos. Veja o manifesto em defesa dos juros compostos.

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